Die Chi-Quadrat-Verteilung (auch χ²-Verteilung genannt) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Statistik häufig verwendet wird. Sie ist besonders wichtig bei Hypothesentests und der Konstruktion von Konfidenzintervallen.
Definition:
Die Chi-Quadrat-Verteilung ist die Verteilung einer Summe von Quadraten standardnormalverteilter Zufallsvariablen. Wenn Z₁, Z₂, ..., Zₖ unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind (d.h. Zᵢ ~ N(0,1)), dann folgt die Zufallsvariable X, definiert als:
X = Z₁² + Z₂² + ... + Zₖ²
einer Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden. Man schreibt X ~ χ²(k).
Parameter:
Die Chi-Quadrat-Verteilung hat einen einzigen Parameter: die Anzahl der Freiheitsgrade (k). Die Freiheitsgrade bestimmen die Form der Verteilung. Im Allgemeinen gilt: je höher die Anzahl der Freiheitsgrade, desto "normalverteilter" wird die Chi-Quadrat-Verteilung. Mehr über Freiheitsgrade.
Eigenschaften:
Anwendungen:
Die Chi-Quadrat-Verteilung findet breite Anwendung in der Statistik, insbesondere:
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF):
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist gegeben durch:
f(x; k) = (x^(k/2 - 1) * e^(-x/2)) / (2^(k/2) * Γ(k/2))
wobei:
Kumulative Verteilungsfunktion (CDF):
Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Sie wird oft in Tabellen oder mit Statistiksoftware berechnet.
Verwendung in Software:
Statistiksoftwarepakete wie R, Python (mit Bibliotheken wie SciPy) und SPSS verfügen über Funktionen zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Quantilen und Zufallszahlen im Zusammenhang mit der Chi-Quadrat-Verteilung.
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